11 指数函数的定义和性质指数函数是形如（，，）的函数。其图像特征明显，当时，图像在轴上方且单调递增，经过点；当时，图像在轴上方且单调递减，也经过点。常见的指数运算法则有、、等，这些法则在数学运算和实际问题解决中应用广泛。
12 对数函数的定义和性质对数函数是指数函数的反函数，若（，，），则，就是对数函数。它的图像与指数函数图像关于直线对称，当时，对数函数图像在轴右侧单调递增；当时，在轴右侧单调递减。对数函数具有定义域为、值域为等性质，是数学中重要的基本初等函数。
21 对数积、商、幂运算法则回顾对数积、商、幂运算法则至关重要。积的对数等于对数的和，即；商的对数等于对数的差，；幂的对数等于幂指数乘以底数的对数，。这些法则如同数学运算中的利器，能帮助我们简化复杂表达式，为展开奠定基础。
41 物理学中的应用在物理学中，指数函数有着广泛且重要的应用。以放射性衰变为例，放射性元素的原子数随时间呈负指数衰减，表达式为，其中是初始原子数，是衰变常数。这种规律揭示了放射性元素随时间变化的特性，在核物理、地质学等领域，用于计算元素的半衰期、测定物质年龄等，为科学研究提供了关键依据。
42 经济学和金融领域的应用在经济学和金融领域，对数和指数函数同样不可或缺。复利计算便是典型例子，本金在计息周期末产生的利息会加入本金，在下一个计息周期再计算利息，公式为，其中是未来值，是本金，是利率，是计息期数。这一表达式体现了资金随时间增长的方式，对评估投资价值、制定财务规划等意义重大，是金融分析中常用的工具。
51 e的定义和历史由来自然常数e是一个无限不循环小数，约等于2，是自然对数函数的底数。数学家莱昂哈德·欧拉命名，也被称为欧拉数。世纪，英国数学家威廉·奥特雷德首次提出这一概念。年出版的对数着作附录中，首次出现了以e为底的计算表，为e的发展奠定了基础。
52 e被称为自然常数的原因e被称为自然常数，是因为它在自然界和科学领域中广泛存在，如复利计算、人口增长、放射性衰变等，都遵循以e为底的指数规律。在许多数学公式中，如欧拉公式eiπ+1=0，展现了数学的和谐与美。e的重要性在于它连接了数学的多个分支，是研究微积分、概率论等的关键常数，对数学理论和实际应用都有着深远影响。
61 在微分方程中的应用在微分方程中，指数函数常作为特解形式出现，如一阶线性非齐次微分方程，当时，可设特解。对数函数则可用于求解某些可分离变量的微分方程，如型，可通过变量代换化为可分离变量方程，利用对数函数性质求解。两者在电路分析、力学系统等微分方程模型建立与求解中，发挥着重要作用。
62 在复分析中的应用在复分析中，指数函数是重要的复变函数，具有周期性（），且当时，。对数函数是多值函数，在复平面上除原点及负实轴外解析，满足，其分支函数在特定区域内是单值解析的。它们在复积分、复级数等领域有着重要性质，为复分析理论发展与应用提供支撑。