第十五章
数学与科学
1501为何那些依赖数学的其他科学知识需要费力探寻，而无人愿意花心思钻研数学本身？若不是深知人人都觉得数学极其简单，且早已发现人类心智总是忽视自认为容易的事物，急于追逐新奇高深之物，我定会为此感到诧异。
——笛卡尔
诸学多倚数理为基，然世人苦求他学，独疏此道，何也？非不知众皆视之为易，亦非未察人心之态：轻其易者，骛其新者。若昧于此，吾必诧之。
1502所有定量的测定都由数学掌控。由此立刻可知，任何忽视数学、不与数学结合、不借助其力量区分因定量变化必然产生的多样形态的思辨，要么是空洞的思维游戏，要么至多是徒劳的努力。在思辨领域，许多事物并非源于数学，也不关注数学。我绝非断言这些事物全是无用的杂草，其中或许有许多高贵的植株，但没有数学，它们都无法完全成熟。
凡量之测度，皆归数理。由此观之，凡思辨之学，若忽数理、不与之相济，又不假其力以辨量之变所生之殊态，非虚言妄论，则徒劳无功耳。思辨之域，虽不乏佳构，然离数理则难臻圆熟，犹嘉禾失沃土，终难丰茂。
——赫尔巴特《文集》（凯尔巴赫编，朗根萨尔察，一八九〇年，第五卷，第一百零六页）
1503我们所知的事物中，很少不能被转化为数学推理。若不能，便表明我们对其认知极为有限且模糊。当存在数学推理的可能时，若使用其他方法，就如同身边点着蜡烛却偏要在黑暗中摸索一样愚蠢。
天下可究之物，鲜不能以数理推之。若不可推，则知之未深，识之未明也。数理既具，犹秉烛而行，若舍之而求诸暗，岂非愚哉？
——阿巴思诺特 引自托德亨特《概率论史》（剑桥、伦敦，一八六五年，第五十一页）
1504数学分析是我们全部实证知识体系的真正理性基础。
数理析理，实为吾辈实证之学之根基，理之所在，无可易也。
——孔德《实证哲论》（马蒂诺译，第一卷，第一章）
1505唯有通过数学，我们才能透彻理解真正的科学。唯有在此，我们才能最高程度地发现科学规律的简洁与严谨，以及人类心智所能达到的抽象高度。任何从其他起点出发的科学教育，都存在基础缺陷。
欲明格致之真义，非究数理不可。数理之妙，简而有法，严而不忒，其抽象之境，极人心之所能至。若他途而求格致，犹筑室于沙，终非正道。
——孔德《实证哲论》（马蒂诺译，第一卷，第一章）
1506在当下的知识状态中，我们与其将数学视为自然哲学的组成部分，不如说自笛卡尔和牛顿时代以来，数学一直是整个自然哲学的真正基础——尽管严格来说，它既是组成部分，又是基础。对我们而言，数学的价值与其说在于它所包含的知识（尽管这些知识充实且珍贵），不如说它是人类心智在探究自然现象规律时所能运用的最强有力的工具。
自笛卡尔、牛顿以降，数理于格物之学，非独为其支流，实乃根本。其学之妙，非仅在识见之富，更在探赜索隐、穷究物理之能，实为格物致知之利器也。
——孔德《实证哲论》（马蒂诺译，导论，第二章）
1507数学的概念即一般科学的概念。
——诺瓦利斯《着作集》（柏林，1901），第2部分，第222页
数理之旨，即格致之精要，二者其义一也。
——诺瓦利斯《文集》（柏林，一九〇一年，第二卷，第二百二十二页）
1508我认为，每一门自然科学只有在具备数学属性时，才是真正的科学……或许存在无需数学的一般自然哲学（即仅关注自然一般概念的哲学），但涉及特定对象的纯粹自然科学（如物理学或心理学），只能借助数学得以实现。由于每门自然科学包含的真正科学成分与其先验知识的多少成正比，因此，每门自然科学成为真正科学的程度，取决于其允许数学应用的程度。
夫格物诸学，唯涉数理者，方得为实学。或谓离数理亦可成自然之哲，然欲穷物理、究心性，非假数理不可。盖实学之深，与先天之知相埒，而数理之用，实定其高下也。
1509教师中最盛行的观点是：数学为推理能力提供最佳训练……而在我看来，现代的正确观点是：数学是自然科学的抽象形式，其作为推理能力训练的价值，并非源于抽象性，而是因为它是实际事物的表征。
世之师者多言，数理最益思辨。然今之正论以为：数理者，格物之抽象也。其益思辨，非以其玄，实以其能摹万物之态耳。
——萨福德《数学教授说略》（波士顿，一八八六年，第九页）
——ew戴维斯
《内布拉斯加科学院1896年会议记录》（林肯，1897），第282页
窃以为，群学之中，莫若算学之为用也。算学者，群学之魁首，若绳墨之于百工，枢纽之于万机，能统摄诸学，融贯众说，使之脉络相通，本末相系。
——ew戴维斯
《内布拉斯加科学院一八九六年会刊》（林肯，一八九七年），第二百八十二页
《学术的进展》第二卷；《新工具》第三卷
至于兼综之算学，可预言之：天地之奥，愈阐愈彰，则算学之属类，亦必日益繁衍，未可限量也。
《崇学论》第二卷；《广学论》第三卷
——h格拉斯曼
《算术教科书选段》；《着作集》（莱比锡，1904），第二卷，第298页
算学之益，非独能启心智之灵明，穷理致知，得其正鹄；更能涵养思维，使之具观览学术体系之能，若筑室有基，行远有车，为治学之津梁也。
——h格拉斯曼
《算学教本节录》；《文集》（莱比锡，一九〇四年），第二册，第二百九十八页
格物之士，藉算学以立说，以辨惑，其功大矣。凡格物之论，涉及数理者，必资算学为权衡，使理明而说正，不至流于虚妄。
《全集》（伦敦，一七七二年），第三卷，第四百二十九页
——凯特勒
格物之学愈进，则愈入算学之域。算学者，群学之渊薮也。观一学之精粗，察其可用算学之浅深，便可知矣。
——凯特勒
引自梅利所撰凯特勒颂辞；《史密森学会报告》，一八七四年，第一百七十三页
——jt默茨
《19世纪欧洲思想史》（爱丁堡与伦敦，1904），第一卷，第333页
算学公式者，犹群学之光隧，使学理得以达于实用；亦犹知识之渊府，聚实验、观察之所得，以待学理之融贯。其用愈精，则理愈明，见愈确。自牛顿引力之式，至理化之繁式，以及生民之律、心术之论、家国之故，皆欲汇散见为会通，纳万殊于一理。然必以算学之精审为要，而后义理昭彰，推论确凿。若自格物、理化、生物之学，下及心性、伦常、治世之学，则融会之功渐疏，精确之度渐减，犹日入崦嵫，光隐而暗生，致惑者众矣。然群学之大势，终归于精确，日益广算学之用，以穷理尽性，此不易之归趣也。
——jt默茨
《十九世纪欧洲思想史》（爱丁堡、伦敦，一九〇四年），第一卷，第三百三十三页
——gc福斯特
《英国科学促进会a组主席致辞》（1877）；《自然》杂志，第16卷，第312-313页
格物之士，自始便须倚算学为助。盖即至简之验，若未以算学推求，亦如明珠蒙尘，莫知其用。及理有确证，数有定例，算家更能触类旁通，推未发之秘。昔库仑兼擅格致、数理，既明电荷相引之律，则电荷分布之理，虽不待实验，算家亦能解之，此其验也。
——gc福斯特
《英吉利科学会a部会长演说》（一八七七年）；《自然》杂志，第十六卷，第三百一十二至三百一十三页