1946 为避免误解，应当记住，无穷小并非被视为普通意义上的实际量，也不能被精确表示。引入无穷小是为了简化和缩略我们的推理过程，它是一种量的终极形态——当心智认为某种量可以缩小到任何给定的量之下，无论这个给定的量有多小时，无穷小就出现了……此外，忽略这类量，并非如莱布尼茨所说的那样，是因为与保留下来的量相比，它们无穷小，因而只会产生无穷小的误差；而是因为必须忽略它们才能得到严谨的结果，因为这样的结果必须是明确且确定的，因此与这些“可变的无限小量”无关。还可以补充一点，就像其他任何科学的精确原理一样，微积分的精确原理，只有那些已经学习过这门科学并在应用其原理方面取得一定进展的人，才能完全理解。
——威廉森，b
《不列颠百科全书》第九版；“微积分”条目，第12、14节。
欲避误解，当知无穷小非寻常所谓之实量，亦不能确表。引入此物，盖为简省推理，乃量之终极形态——心之所想，其量可减至任何所赋值之下，无论其何其微也……且略此等量，非如莱布尼茨所言，因与所存者相较，其为无穷小，故生无穷小之误；实因必略之而后可得严谨之果，盖此果当明确定，故与彼“可变无限小量”无涉。又，微积分之精理，如他学之要旨，非已研学且稍能应用者，不能尽解也。
——威廉森，b
《不列颠百科全书》九版；“微积分”条，第十二、十四节。
1947 在几何学中，我们不仅承认无穷大量，也就是比任何可指定量都大的量，还承认无穷大的量之间也存在无穷的大小差别，一个比另一个无穷大。这让我们的大脑感到震惊——即便是最大的脑袋，尺寸也不过长六英寸、宽五英寸、深六英寸左右。
——伏尔泰
《哲学辞典》；“无穷”条目（波士顿，1881年）。
几何之中，不仅认无穷大量，即大于任何可定量者，更有无穷大量间亦存无穷之别，彼大于此无穷。此令吾曹脑府惊骇——纵最大之颅，其度亦不过长六寸、宽五寸、深六寸许。
——伏尔泰《哲学辞典》；“无穷”条（波士顿，1881年）。
1948 无穷是数学戏法的领地，在这里，零这位魔术师是国王。当零除以任何数时，不管这个数有多大，都会把它变成无穷小（或者无穷大？）；反过来，当零被任何数除时，又会产生无穷大（或者无穷小？）。在这个领域里，圆的周长会变成直线，然后圆就可以被求积了。在这里，所有的等级都被废除了，因为零会以这样或那样的方式把一切都拉到同一个水平。零统治的王国多么幸福啊！
——卡鲁斯，保罗《逻辑与数学思想》；《一元论者》第20卷（1909-1910年），第69页。
无穷者，数学戏法之域也，零为术士，居此为王。零除任何数，不问其巨细，皆化之为无穷小（或无穷大欤？）；反之，零为任何数所除，则生无穷大（或无穷小欤？）。于此域中，圆周可为直线，圆亦可求积。此处等级尽废，盖零以某种方式，将万物归于同一水准。零所治之邦，何其幸哉！
——卡鲁斯，保罗
《逻辑与数学思想》；《一元论者》二十卷（1909-1910年），六十九页。
1949
大跳蚤背上有小跳蚤，
小跳蚤咬着它们，
小跳蚤还有更小的跳蚤，如此以至无穷。
而大跳蚤自己，反过来，又有更大的跳蚤在上面；
这些更大的跳蚤又有更大的，
越来越大，如此下去。
《悖论集锦》（伦敦，1872年），第377页。
大蚤背有小蚤，
小蚤啮之，
小蚤复有更小蚤，递至无穷。
而大蚤自身，复有更大蚤居其上；
彼更大者，又有更甚者，
愈大愈甚，如是以往。
《悖论集锦》（伦敦，1872年），三百七十七页。
1950 我们在算术中巧妙地用一个结（∞）来定义无穷，但这并没有让我们对无穷有更清晰的概念。
——伏尔泰
《哲学辞典》；“无穷”条目（波士顿，1881年）。
——伏尔泰
《哲学辞典》；“无穷”条（波士顿，1881年）。
1951 我反对把无穷大量当作完成了的东西来使用，这在数学中是绝不允许的。无穷只是一种“说话的方式”，其真正含义是某个极限——某些比率会无限接近这个极限，而其他一些则可以不受限制地增大。
——高斯
《致舒马赫的信》（1831年）；《全集》第8卷，第216页。
吾反对以无穷大量为已成之物而用之，此在数学中绝不可许。无穷者，不过“言说之法”，其真义为一极限——某些比率无限趋近之，而另一些则可无拘增大。
——高斯
《与舒马赫书》（1831年）；《全集》八卷，二百一十六页。
1952 尽管潜无穷和实无穷的概念有着本质区别——前者指的是一个可变的有限量，它会增大到超过所有有限的界限；而后者是一个固定的、不变的量，它位于所有有限量之外——但人们还是常常把两者混为一谈……由于对这种“不合法的”实无穷的合理反感，以及现代伊壁鸠鲁式唯物主义倾向的影响，在广泛的科学界中产生了一种“无穷恐惧”，高斯的那封信（见1951条）就是这种恐惧的经典表达和支撑。然而在我看来，由此不加批判地拒绝合法的实无穷，同样是对事物本质的违背，事物本该是什么样就该是什么样。
——康托尔，g
《论实无穷问题》；《自然与启示》第32卷（1886年），第226页。
潜无穷与实无穷之念，本有本质之别——前者为可变之有限量，增之超一切有限之界；后者为固定不变之量，居一切有限量之外——然人常混为一谈……因对“不合法”实无穷之合理厌弃，及近代伊壁鸠鲁唯物主义之风影响，学界广生“无穷之惧”，高斯之书（见1951条）即为其经典表述与支撑。然在吾观之，由此不加审辨而拒合法之实无穷，亦违事物之性，物之本然当如其所是也。
——康托尔，g
《论实无穷问题》；《自然与启示》三十二卷（1886年），二百二十六页。
1953 无穷常常与无定限混淆，但这两个概念是截然对立的。无穷根本不是一个量——它既不允许增大，也不允许减小，没有可指定的界限；而无定限是指一个具有未指定但可指定界限的量。无穷是一种持续“消除”任何可能被指定的界限的操作：是在旧的量上不断添加新的量的过程，是连续性的流动。无穷和零一样，都不是量。如果说零是消失的量的符号，那么无穷就是存在的连续性的符号——这种连续性在设定界限时，被理想地分割成了离散的部分。
——刘易斯，gh
《生命与心智的问题》（波士顿，1875年），第2卷，第384页。
无穷常与无定限相混，然二念截然相反。无定限者，量也，有未指定而可指定之界；无穷者，非量也，既不可增，亦不可减，无有可定之界。无穷者，乃持续“消去”任何所定之界之操作：于旧量之上，不断加新量，为连续之流动。无穷与零，皆非量也。若零为消逝之量之符，则无穷为存在之连续之符——此连续性于设界时，被理想地分为离散之部。
——刘易斯，gh
《生命与心智之问题》（波士顿，1875年），二卷，三百八十四页。
1954 如果记住“无穷大”“无穷的”“零”“无穷小”这些术语必须结合其上下文来理解，且根据定义方式的不同会有多种含义，就能避免很多误解。
《数论（剑桥，1892）》第一部分，第104节。
若念“无穷”“无限”“零”“无穷小”诸语，必随其上下文而解，且因定义之异而多义，则可避诸多误解。
《算术论（剑桥，1892）》卷一，第一百零四节。
1955 在数字方面还有一点值得注意，它是我们用来衡量所有可测量事物的工具，主要是“广度”和“持续时间”；即便是将无穷的概念应用到这些事物上，我们对无穷的理解似乎也不过是数字的无穷。因为我们对永恒和广大的概念，除了是对持续时间和广度的想象部分进行反复叠加，再加上数字的无穷之外，还能是什么呢？在这种叠加中，我们永远没有尽头。
《人类理解论》第二卷，第十六章，第8节。
观夫数，盖人所以量万物可测者也，其要在“广延”与“久暂”；即令以无穷之意施于此，吾人所谓无穷，亦不过数之无穷耳。何则？吾之所谓永恒、广大者，非他，乃于久暂、广延之想象片段叠而加之，辅以数之无穷也，其间叠加，终无竟时。
《人类理解论》卷二，第十六章，第八节。
1956 但在所有其他概念中，我认为数字给了我们所能拥有的关于无穷的最清晰、最明确的概念。
《人类理解论》第二卷，第十七章，第9节。
然于众念之中，数也者，窃以为能予吾人最明最确之无穷观念也。
《人类理解论》卷二，第十七章，第九节。
1957 你想步入无穷吗？
只需在有限之中向各个方向前行！
你想在整体中获得愉悦吗？
那你就得在最细微之处看到整体。
——歌德
《上帝、心灵与世界（1815）》
欲探无穷乎？
唯于有限之中，遍涉各方！
欲悦于整体乎？
必于微末之中，窥见全体。
——歌德
《神、心与世界（1815）》
1958 我堆积起庞大的数字，
堆起成百万的山峰，
我把时间叠在时间上，把世界堆在世界上，
可当我从那可怕的高处，
头晕目眩地再望向你时，
即便数字的力量增强千倍，
也还不及你的一部分。
我将它们减去，你便完整地呈现在我面前。
引自黑格尔《逻辑学》第一卷，第二节，第二章，c，b。
吾积巨数，
叠峰百万，
时复有时，世复有世，层叠不已，
及吾自可怖之高，
目眩回望于尔，
则数之全力，纵增千倍，
犹不及尔之一分。
吾减其数，尔乃全现于前。
引自黑格尔《逻辑学》卷一，第二节，第二章，丙之乙。
1959 当一个集合包含的部分集合与它自身有着同样多的元素时，这个集合就是无穷的。如果你能从一个集合中去掉一些元素，却不减少元素的数量，那么这个集合中就有无穷多个元素。罗素《国际月刊》第四卷（1901），第93页。
一集合之元素，若含他集合为其部分，而部分与全体元素之数相等，则此集合为无穷。若能去一集合之若干元素，而其数不减，则此集合元素无穷。
《国际月刊》第四卷（1901），第九十三页。
1960 一个元素（事物，无论是什么）的集合（总体、汇集、组、流形）是无穷还是有限，取决于它是否有一个部分与整体恰好“等价”，这里的等价是指构成该部分的元素与构成整体的元素之间存在一种唯一且相互的（一一对应）关系。
《无穷公理》；《希伯特杂志》第二卷（1903-1904），第539页。
元素（万物皆是）之集合（总成、汇集群、流形），其为无穷抑或有限，视其是否有一部分与全体“等价”。等价者，谓构成部分之元素与构成全体之元素，有唯一互应之关系也。
《无穷公理》；《希伯特杂志》第二卷（1903-1904），第五百三十九页。