今世高等算学，究其本质，皆为演运算法度（即思维之律）之体系。溯其源流，古来之算学，莫不如此；唯今世创高等微积者，能洞见其理。今之蒙师，犹拘于旧说，以代数算术为数字之规，以几何为方圆度量之法，此乃误人子弟，使学者终难悟高等代数之奥。盖代数所研，非数字之律，实乃探数时所明思维之轨；平面几何者，古人测度面积所得思维之则也；立体几何者，展几何于三维之境，所获思维之新增条贯耳。
——e布尔《算术理则》（牛津，1903年），序，页十八至十九
古算与今算之殊，非独现于古重综合、摒通法，今则异是；其深层根本之异，在于对待“变量”之态度。昔者，埃利亚学派之哲思浸染，古人于严整之学中，避谈“运动”（此空间化之变量表征），唯涉机械成曲之时，偶有触及。而降及今世，笛卡尔弃纯代方程之法，转而究代数式随变量递嬗之变，现代几何之基，由此奠定。
上世纪算学之特色，莫着于复变函数之系统铺陈、广涉众域。诸多宏论，因之获益匪浅；更有学说，缘此应运而生。
——j皮尔庞特《十九世纪算学史》；《学艺大会文编》（波士顿、纽约，1905年），卷一，页四百七十四
虚数于析学之枢要，虚空间于几何之宰制，此乃贯串今之析学、几何之根本精义，虽千言万语，亦难尽其重！
《数学研究：哲学论文集》（伦敦，1910年），第77页。
往昔困厄数学于无穷之难题，今竟得解，此诚吾辈时代最足夸诩之伟大功业也。
《为数学家辩护》；《自然》第1卷，第261页。
归纳与类比，乃现代数学之显着特征。定理渐次让位于理论，凡真理者，皆视若无穷链条之一环。“万物皆趋于无穷”，此其素所钟爱之格言，亦学界公认之公理也。
《十九世纪欧洲思想史》（爱丁堡与伦敦，1903年），第736页。
对应之概念，于现代数学中居核心地位。其为秩序科学（别于量值科学）之根本观念。古之数学，多因测量需求而生；今之数学，则以秩序与排列之理念为主导。此思维趋向，或与物理学之新发现相呼应：自然之变，非独系于质量、能量之多寡，更关乎其分布与排列之态也。
《纯粹科学的哲学》；《演讲与论文集》（伦敦，1901年），第1卷，第402页。
于二集合间建立对应关系，并研析由此传递之命题，此可谓现代数学之核心思想。
《莱比锡报告》第47期（1895年），第261页。
自本世纪以来，替换与替换群、变换与变换群、运算与运算群、不变量、微分不变量及微分参数等概念，日益彰显为数学中最重要之思想。
《近世纪数学发展》（蒂宾根，1884年），第14-15页。
自拉格朗日以降，观点与方法之普遍性、表述之精确与优雅，已成自诩为科学数学家者之共同追求。纵其普遍性或因牺牲直观与应用性而晦涩（如所立广义定理竟无适例）；纵精确性偶流于刻意简练（致读文难于撰文）；纵形式优雅今几为评判命题价值之圭臬——然此诸端于学科健康发展犹为关键，可束科学素材于合理之域，免使数学沉溺于琐碎、湮没于庞杂也。
《代数与几何基本概念》（纽约，1911年），第225页。
近年抽象方法之发展，为数学注入全新且关键之原则，乃彰显数学各分支本质统一性之最强有力工具也。
《德国数学家联合会年报》第13卷，第17页。
人人皆赞颂数学方法之无与伦比，然亦莫不觉察其不受欢迎之态。
《科学、哲学与艺术讲座》（纽约，1908年），第8页。
诚然，现代数学之发展，不仅为吾辈时代最令人瞩目之现象，更堪称标志性之成就。然号称“普世化”之日常媒体，对此奇观竟漠然无知；于科学与艺术之诸般重大领域中，未有若数学者，令受教育之公众长久抱持诸多谬见，且低估其价值也。
《论数学的价值与所谓无价值》；《德国数学家联合会年报》（1904年），第357页
诚可谓，数学之域，独为今世广涉诸学之传媒所未逮，此言非夸诞也。
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《论数学之价值与似若无值》，载《德意志数学会年报》（1904年），页357
数学诸专门之科，非循逻辑相承之学阶，无由探其堂奥。故惰者、怯者遇此，则望而生沮，甚或厌憎。
——h 舒伯特《数学随笔与娱乐》（芝加哥，1898年），第32页
今时数学之理，多赖累世哲匠殚精竭智。是以欲深明当代之学，必速览数百年间之积薪。新知旧理，环环相扣，此所以数学独成幽邃之科，难为未窥门径者辟捷径以通玄奥。缘此，其理其果，鲜能通俗布达……然数学之高深，虽使其位尊于诸学，亦令未习者望而却步，畏其研习之艰。他如语言、格物诸科，其论其证，未至若此盘根错节，故犹可使初学者略知一斑，无需尽历漫长之学程。
——h 舒伯特《数学丛谈与雅趣》（芝加哥，1898年），页32