凌凡的“数学筑基工程”进行到平面几何部分。这是初中数学的另一大基石，也是许多学生头疼的领域，充斥着各种看都看不出来的辅助线和灵光一闪的奇妙思路。
对于凌凡这种自认“脑洞大”但“逻辑弱”的学渣来说，几何曾经是他的噩梦——那些图形在他眼里不是智慧的结晶，而是一堆莫名其妙线条的堆砌。
但现在，手握“错题五步法”和“回归基础”两大法宝，他决定换一种方式来叩击几何之门。
这天，他遇到了一道初中几何的经典题，难度中等偏上，正好卡在他的“最近发展区”——
（他手动画了个草图：一个顶角120°的等腰三角形，底边bc上有一个点d，满足bd是dc的两倍。）
凌凡盯着题目看了五分钟，大脑一片空白。证明垂直？通常需要证角度相等或勾股定理逆定理。但在这个图形里，角度乱七八糟，线段长度也不知道，从哪里下手？
若是以前，他最多挣扎十分钟，然后就会放弃，直接去看答案，哦一声，感叹一下“原来要这么作辅助线”，然后……就没有然后了。
但这一次，他没有。
他想起陈景先生说过：“一道好题，就像一颗钻石，有很多个切割面，从不同的角度去看，会闪耀出不同的光芒。只满足于一种解法，是买椟还珠。”
而且，他最近夯实基础，特别是对全等三角形、相似三角形、勾股定理、三角函数（正弦余弦定理）有了更深入的理解，隐隐觉得这些工具似乎都能用上。
一个大胆的、甚至有些“疯狂”的念头在他脑中诞生：
“我要用尽可能多的方法来解决这道题！看看这颗‘钻石’到底有多少个切面！”
这个想法让他兴奋起来，仿佛不是在做题，而是在策划一场有趣的思维探险。
他拿出最大的草稿纸，在中间画下标准的图形，标好所有已知条件。然后，像开辟战场一样，在草稿纸的四周划出几块区域，分别写上：
【解法一：面积法】 【解法二：勾股定理法】 【解法三：相似三角形法】 【解法四：坐标法】 【解法五：三角函数法】
他要同时向五个方向发起进攻！
战役一：面积法（最直观的尝试） 思路：如果ad⊥bc，那么ad就是△abc在bc边上的高。或许可以从面积关系入手？ 用余弦定理或作高，他用了作高，顺便复习了含30°的直角三角形三边关系。 但如何证明这个比例？的面积关系。 他连接a和bc中点？他尝试用共角三角形面积比…△abd和△abc共享∠b？不对，底边不同… 卡住了。面积法似乎需要更巧妙的构造，他暂时搁置。（解法一：暂时受阻）
战役二：勾股定理法（最朴素的暴力计算） 思路：要证ad⊥bc，只需在△abd和△adc中，证明ad2+ bd2 = ab2 和 ad2 + dc2 = ac2？不对，这是直角三角形判定，但需要的是ad2 + 某个值？，那么只需证明ad2= ah2 + dh2？这又绕回去了。 正确的勾股定理应用，应该是分别表示出ad、ab、bd等的长度，然后看是否存在平方关系。，利用余弦定理可求出ab2= (3x)2 + ? 不对，余弦定理是针对△abc的边bc… 他发现自己对勾股定理和余弦定理的应用场景有些混淆，计算也变得复杂。（解法二：陷入计算泥潭，暂时放弃）
战役三：相似三角形法（需要辅助线的灵光一闪） 思路：证明垂直，常常可以通过证明角相等来实现。似三角形能推出90°角？ 他仔细观察图形。，等腰三角形。，那么底角∠abc=∠acb=30°。或者，更常见的，过a点作bc的垂线？但这就是直接去证垂直了，循环论证。 他需要构造出包含ad和bc的相似形。 苦思冥想…没有头绪。（解法三：缺乏灵感，搁浅）
连续三个方向受挫！ 若是以前，凌凡早就崩溃放弃了。 但今天不同，他有五个战场！一个方向不行，立刻切换另一个！这种多线探索的方式，反而减轻了单一失败带来的挫败感。
战役四：坐标法（降维打击，无脑计算） 思路：这是他的“杀手锏”，也是他最近自学向量和坐标几何后想尝试的方法。把几何问题代数化！ 他立刻建立平面直角坐标系： 以b点为原点(0,0)，bc边放在x轴上，c点就在(3x,0) （因为设dc=x, bd=2x, bc=3x）。 现在需要确定a点坐标。嗯？！不对！点积不为零！ 凌凡心里一惊，差点以为自己的筑基工程白费了。但他迅速冷静检查。 发现错误：定比分点公式用错了！这个没错。 那是哪里错了？啊！垂直的判断错了！确实不为零！ 凌凡懵了。难道题目是错的？不可能啊。 他再次审视题目和图形。突然，他猛地一拍脑袋！ “蠢货！吗？！我默认了d是垂足，然后用坐标法去证，这本身就是循环论证啊！，垂足未必是d啊！我应该设垂足为h，然后证h和d重合！” 坐标法的正确思路：是先求出bc的方程（y=0），然后求a到bc的垂足h的坐标，再证明h和d是同一个点！坐标显然是(15x, 0)。 而d点坐标是(2x,0)！根本不垂直于bc？! 题目是错的？! 凌凡彻底凌乱了。他感觉自己发现了一个惊天大秘密。
（就在他几乎要推翻题目时，战役五的思维悄然启动）
战役五：三角函数法（另辟蹊径） 思路：既然有角度和边长关系，或许可以用正弦定理或余弦定理在△abd和△adc中计算∠adb或∠adc的余弦值，看是否为0（90°）。因为等腰三角形底角)，bd = 2x (设dc=x)。 需要ad？由正弦定理：ab/ s∠adb = bd / s∠bad = ad / s30° 信息不足。互补？因为b,d,c共线……两者并不相等？是定值，这要求bd/ab = dc/ac，即bd/dc = ab/ac = 1，但这与bd=2dc矛盾！ ！！！ 真相大白！
凌凡看着这最终推导，目瞪口呆。
这道题……根本就是错的！准确地说，在ab=ac且∠a=120°的前提下，如果bd=2dc，那么ad绝不可能垂直于bc！
他之前的五种解法探索，前三种的受阻和第四种坐标法计算出的矛盾，并非因为他笨或方法错，而是因为题目本身的条件就是矛盾的！第五种三角函数法从逻辑上直接证明了其不可能性。
一场轰轰烈烈的五法探索，最终竟得出这样一个戏剧性的结果！
凌凡没有感到沮丧，反而有一种前所未有的狂喜和成就感！
他依靠自己的思考和多角度的探索，发现并证明了一道题目的错误！ 这比简单地做对十道题，更让他感到振奋！ 这证明了他的思维变得严谨、多角度、具有批判性了！
他兴奋地拿出错题本，没有用五步法，而是专门开辟了一页，标题为：【探索发现：一道错题的五条证伪之路】
他详细记录了五种方法的尝试过程，重点突出了坐标法和三角函数法如何一步步揭示题目的矛盾。
合上错题本，凌凡心潮澎湃。 这次探索，无疑是他“数学筑基工程”中的一个意外转折和高光时刻。 他不仅是在夯实基础，更是在锻造一种属于他自己的、主动的、批判的、充满探索精神的数学思维方式。
逻辑之门的叩击声，或许并不总是清脆的“咚咚”声。 有时，它是一声沉重的闷响， 告诉你此路不通。 但正是这声闷响， 让你对“通”的方向， 有了更深刻的理解。
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